Cresciuto nelle giovanili del Torino esordisce in Serie A  nel campionato 1972/73 Viene ceduto al Casale alla fine della stagione, dove gioca 2 campionati  totalizzando 68 presenze. Nella stagione 1975/76 è il portiere titolare del Novara, dove si mette alla luce subendo solo 29 reti in 38 gare. Viene acquistato dalla Lazio su indicazione di Vinicio che lo considera molto interessante in prospettiva futura. Il pimo anno in biancoceleste lo trascorre da secondo dietro a Felice Pulici. L'anno successivo Viniciodecide di puntare su di lui per difendere la porta della Lazio, suscitando non poche polemiche e costringendo Pulicia trasferirsi al Monza. Essendo ancora molto giovane, Garella incappa in alcune partite dove non ha un buon rendimento. Beppe Viola, giornalista Rai degli anni Settanta, si diverte a miscelare parole e a lui si deve il primo neologismo dedicato al portiere. "Garellate", sentenzia Viola una domenica per sottolineare un paio d'errori del portiere che difende la porta laziale. Da quel momento i suoi errori vengono ribattezzati "Garellate" da tutta la stampa, che non gliene perdona una.

Il fatto, poi di aver sostituito Pulici, non viene accolto di buon occhio dai tifosi che, invece, gli avevano dato l'appellativo di "Paperella". Garella gioca da titolare la stagione 1977/78, collezionando 29 partite in Campionato , 2 in Coppa Italia , e 4 nella Coppa UEFA. A fine stagione viene ceduto alla Sampdorianello scambio che porta Massimo Cacciatori alla Lazio. In blucerchiato milita per tre stagioni, collezionando 113 presenze. Dopo l'esperienza con i blucerchiati, con i quali rinasce come portiere dopo le critiche ricevute a Roma, viene ceduto al Verona allenato da Osvaldo Bagnoli con il quale conquista uno storico scudetto nella stagione 1984/85 . Con gli scaligeri colleziona 113 presenze.

Nell'estate del 1985 passa al Napoli .

Dotato di ottime doti fisiche, sgraziato, è stato sempre messo in discussione per lo stile decisamente poco ortodosso delle sue parate. Uscite spericolate, uso continuo dei piedi per parare, riflessi prodigiosi, parate eccezionali, alternate a errori clamorosi, lo hanno reso un personaggio molto popolare nel mondo del calcio, ma sul portiere i giudizi degli appassionati sono stati sempre estremamente discordanti.

Claudio Garella, un rivoluzionario dello stile: interventi esteticamente discutibili ma tremendamente efficaci. In tre anni d’azzurro colleziona 88 presenze in campionato e, soprattutto, vince uno scudetto e una Coppa Italia passando alla storia come il portiere titolare di uno dei Napoli più forti di sempre. Il soprannome di Garellik – mutuato dal fumetto Diabolik - deriva proprio dalla sua specialità: compiere miracoli tra i pali in modo spettacolare, non convenzionale e… diabolico.

L'anno seguente viene ceduto all' Udinese in Serie B . Gioca l'ultimo anno con l'Avellino nel 1991 e poi appende le scarpe al chiodo.